By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui believe connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce web site divers records pertinents au cours.

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K! 39 Il suffit donc de v´erifier que l’on a g (p) (t) = α 1 =p p! α D f (x0 + t(x − x0 )) (x − x0 )α . α! Le r´esultat suivra avec y = x0 + s(x − x0 ). Raisonnons par r´ecurrence sur p. Si p = 1, g(t + h) − g(t) h→0 h f (x0 + t(x − x0 ) + h(x − x0 )) − f (x0 + t(x − x0 )) = lim h→0 h = f (x0 + t(x − x0 ))(x − x0 ) 1 α = D f (x0 + t(x − x0 )) (x − x0 )α . α! g (t) = lim α 1 =1 Par r´ecurrence sur p donc : g (p) (t + h) − g (p) (t) h→0 h α f (x + t(x − x ) + h(x − x )) − D α f (x + t(x − x )) p!

Elle ne peut pas ˆetre prolong´ee `a une fonction continue sur Rn tout entier puisque (n) (n) f (λ e1 ) = sgn λ e1 52 ce qui n’admet pas de limite lorsque λ → 0. Exemple. La fonction f : ]0, +∞[ × ] − π, π] × [0, π] → R3 donn´ee par f (r, θ1 , θ2 ) = (r cos θ1 sin θ2 , r sin θ1 sin θ2 , r cos θ2 ) est continue. Th´ eor` eme 18 Soient E ⊆ Rn un ensemble compact et f : E → Rm une fonction continue sur E. Alors l’ensemble f (E) est compact. D´emonstration. Soit {yk }k∈N une suite de points de f (E).

Alors les in´egalit´es f (x2 ) − f (xλ ) ≥ f (xλ )(x2 − xλ ) et f (xλ ) − f (x1 ) ≤ f (xλ )(xλ − x1 ) entraˆınent f (x2 ) − f (xλ ) f (xλ ) − f (x1 ) ≥ f (xλ )(x2 − x1 ) ≥ 1−λ λ donc f (xλ ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ). D. 46 Th´ eor` eme 17 Soient E ⊆ Rn un ensemble ouvert convexe et f ∈ C (2) (E). Si pour tout u ∈ Rn et pour tout x ∈ E, uT H(x)u ≥ 0, la fonction f est convexe sur E. D´emonstration. Soient x1 , x2 ∈ E. Alors, il existe y ∈ [x1 , x2 ] tel que f (x2 ) − f (x1 ) − f (x1 )(x2 − x1 ) = 1 (x2 − x1 )T H(y)(x2 − x1 ) ≥ 0.

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