By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord los angeles définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction proceed d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et l. a. fonction gamma. On y étudie enfin l. a. représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s'agit aussi comme son nom l'indique d'un deuxième cours d'analyse, qui feel que l'on connaît déjà les propriétés des fonctions maintains et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours examine 1.

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1 + x2 )n Donc, d’une part, en vertu de la relation (11) (et en posant x = cos y dans l’int´egrale de gauche de la ligne pr´ec´edente), √ 1 √ n n π/2 2 e−y dy ≥ 0 sin2n+1 y dy = 0 2 · 4 · 6 · · · 2n 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1) et (´equation (12)) +∞ −y 2 e 0 √ √ π 2 · 4 · 6 · · · 2n n .

2 −1 Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons 1 1 − t2 dt + y arccos y = 2 1 − y2 y (figure (9) — arccos y repr´esente l’aire du secteur (pour v´erifier cette affirmation, distinguer suivant que y est positif ou n´egatif)). y 1 Fig. 9 – D´efinition de l’arccosinus La fonction ainsi d´efinie est continue sur [−1, 1] mais d´erivable seulement sur ] − 1, 1[ o` u d −1 arccos y = . dy 1 − y2 36 Elle est strictement d´ecroissante, de π `a 0 lorsque son argument y croˆıt de −1 `a 1. Donn´e 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1 tel que arccos y = x.

Elle est donc int´egrable sur tout intervalle compact [α, β] enti`erement contenu dans (a, b). Par d´efinition, b β f (x) dx = a lim f (x) dx α→a+, β→b− α si la limite existe (c’est-`a-dire si l’int´egrale est convergente — elle peut ˆetre divergente). On g´en´eralise ainsi la notion d’int´egrale (exercice (12) du chapitre 1) au cas o` u l’intervalle d’int´egration ou la fonction `a int´egrer (ou les deux) ne sont pas born´es. De fa¸con explicite, dans le cas par exemple de l’intervalle (0, +∞), dire que +∞ f (x) dx = I 0 signifie qu’`a chaque > 0 correspondent δ > 0 et M > 0 tels que β f (x) dx − I < 0 < α < δ et β > M impliquent α ou, de mani`ere ´equivalente, que pour toutes suites {αn }n∈N et {βn }n∈N de nombres positifs, βn lim αn = 0 et n→+∞ lim βn = +∞ impliquent lim n→+∞ n→+∞ α n f (x) dx = I.

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