By Hans-Jürgen Schneider

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Lie algebras and applications

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Handbook of means and their inequalities

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Beginning and Intermediate Algebra (5th Edition)

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Example text

N ⊂ M eine Untergruppe; da (M, +) abelsch ist, ist N auch Normalteiler, wir haben also eine Gruppenstruktur auf M/N . Für x ∈ M/N und r ∈ R definieren wir nun rx := rx. Diese Definition ist sinnvoll, denn mit x = y ist x − y ∈ N , also auch rx − ry = r(x − y) ∈ N , da N ein Untermodul ist, und folglich rx = ry. Die Gültigkeit der Axiome eines R-Linksmoduls für N ererbt sich von M ; der kanonische Gruppenepimorphismus kan : M → M/N ist offenbar auch ein Epimorphismus von R-Linksmoduln, und es ist weiterhin ker kan = N .

Sind f, g = 0, so ist deg(f g) = deg f + deg g; insbesondere ist R[x] ebenfalls ein Integritätsring. 16 2. Ist f = 0, so hat f höchstens deg f Nullstellen in R. Beweis. j 1. Ist f = ni=0 ri xi , g = m j=0 sj x mit ri , sj ∈ R für alle i, j und rn , sm = 0. Der höchste Term von f g ist dann rn sm xn+m mit rn sm = 0, da R Integritätsring ist. 2. Es seien a1 , . . , at ∈ R paarweise verschiedene Nullstellen von f . 14 ein g1 ∈ R[x] mit f = (x − a1 )g1 . Wegen 0 = f (a2 ) = (a2 − a1 )g1 (a2 ) und a2 − a1 = 0 muß, da R Integritätsring ist, g1 (a2 ) = 0 sein.

Die Fermatschen Zahlen Fm , m 0, sind definiert durch Fm = 22 + 1 für alle m. Eine Primzahl p heißt Fermatsch, wenn es ein m ∈ Z gibt mit p = Fm . Bemerkung. Die einzigen bekannten Fermatschen Primzahlen sind die Folgenden: m Fm 0 3 1 5 2 17 3 257 4 65537 Es ist nicht bekannt, ob weitere Fermatsche Primzahlen existieren. 19 Satz (Gauß). Für n 3 gilt: cos 2π n ist genau dann konstruierbar, wenn es ein t ∈ N und paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen p1 , . . , pr gibt mit n = 2t p1 . . pr .

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