By Markus Junker

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Lie algebras and applications

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Beginning and Intermediate Algebra (5th Edition)

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Also gilt gL ∈ gK L[X]. Somit unterscheiden sich gK und gL nur um eine Einheit in L. 7 Sei f irreduzibel in K[X]. Dann ist f genau dann nicht separabel, wenn K der Charakteristik p = 0 ist und f (X) = g(X p ) f¨ ur ein g ∈ K[X]. Beweis: ⇐“ Es ist dann f = 0, also sind f und f nicht teilerfremd. 6). Da aber f irreduzibel ist, muss ggT(f, f ) = f gelten, also f = 0. Da f nicht konstant ist, bleibt nur die M¨oglichkeit f (X) = g(X p ) mit p = char(K) = 0. 8 Algebraische Erweiterungen vollkommener K¨ orper sind separabel.

17 irreduzibel ist, also ist P maximal. 19 Hauptidealringe sind faktoriell. Beweis: Angenommen a0 ∈ R, a0 = 0 und a0 ∈ / R∗ , l¨asst sich nicht als Produkt irreduzibler Elemente schreiben. Insbesondere ist a0 selbst nicht irreduzibel, schreibt sich also als a0 = a1 a1 mit Nicht-Einheiten a1 , a1 . Insbesondere ist a0 R a1 R. E. a1 , l¨asst sich dann auch nicht als Produkt irreduzibler Elemente schreiben (denn sonst w¨are das Produkt eine Schreibweise f¨ ur a0 ). Auf diese Weise erh¨alt man eine Kette a0 R a1 R a2 R ...

Nun kann man das Lemma von Zorn anwenden auf die durch Inklusion partiell geordneten echten Ideale von R, die I enthalten: F¨ ur jede aufsteigende Kette solcher Ideale ist die Vereinigung wieder ein Ideal, das I enth¨ alt und echt ist (denn es enth¨alt nicht die Eins, da kein Ideal in der Kette sie enth¨ alt). Also gibt es ein maximales Element dieser partiellen Ordnung. Dies ist ein maximales Ideal m des Ringes R. Dann ist R/m ein Oberk¨orper von L, in dem jedes irreduzible Polynom f ∈ L[X] eine Nullstelle Xf + m hat.

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