By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

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Eines Körpers ist wieder ein Integritätsbereich bzw. ein Körper. Ein an dieser Stelle fast trivial erscheinender Satz, der uns aber in der Folge wichtige Dienste erweisen wird, ist: Es seien ffi und @i' zwei zueinander fremde Ringe. @;' enthalte einen zu ffi i-isomorphen Unterring ffi/. Dann gibt es auch einen Ring @i""'" @i/ , der ffi selbst umfaßt. Beweis "Vir werfen aus @i' die Elemente von ffi' hinaus und ersetzen sie durch die ihnen im i-Isomorphismus entsprechenden Elemente von ffi. Wir definieren nun die Summen und Produkte für die unersetzten und ersetzten Elemente so, daß sie genau den Summen und Produkten in 8' entsprechen.

Enthalte einen zu ffi i-isomorphen Unterring ffi/. Dann gibt es auch einen Ring @i""'" @i/ , der ffi selbst umfaßt. Beweis "Vir werfen aus @i' die Elemente von ffi' hinaus und ersetzen sie durch die ihnen im i-Isomorphismus entsprechenden Elemente von ffi. Wir definieren nun die Summen und Produkte für die unersetzten und ersetzten Elemente so, daß sie genau den Summen und Produkten in 8' entsprechen. (Ist z. B. ) In der Weise entsteht aus @i/ ein Ring @i""'" @i/, der in der Tat ffi umfaßt.

E,d), wenn ad=bc. [Vgl. , (e, f) ad=be, ef=de, adf=bcf=bde, ° und der Kommutativität von ~: a/=be, (a, b) '" (e, f) . , hat also alle Eigenschaften einer Äquivalenzrelation ; sie definiert somit nach Kap. 1, § 5 eine Klasseneinteilung für die Paare (a, b), indem äquivalente Paare zur selben Klasse gerechnet werden. Die Klasse, in der (a, b) liegt, sei durch das Symbol alb dargestellt. , (e, d), also wenn ad = be. Entsprechend der früheren Formel (1) definieren wir nun Summe und Produkt der neuen Symbole alb durch: (2) (3) +~= _~ b d a c b d ad+ bc bd' ac bd .

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